Definición por Límite
Se define originalmente como el límite de la sucesión cuando $ n $ tiende a infinito:
$$ e = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n $$
El Número $ e $: La Base del Crecimiento
El número $ e $, conocido también como constante de Napier o número de Euler, es uno de los números irracionales más importantes en matemáticas, junto con $ \pi $ y $ \phi $. Su valor aproximado es 2.71828.
$$ e \approx 2.71828182845904523536\ldots $$
¿Qué es el número $ e $?
A diferencia de $ \pi $, que proviene de la geometría, el número $ e $ surge de forma natural en el cálculo y el análisis matemático, especialmente en procesos de **crecimiento exponencial** e interés compuesto.
Definición por Serie
También puede expresarse como la suma infinita de los inversos de los factoriales:
$$ e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots $$
Propiedades Únicas
- La función exponencial: La derivada de la función $ f(x) = e^x $ es ella misma ($ f'(x) = e^x $). Es la única función (salvo multiplicada por constante) con esta propiedad.
- Logaritmos Naturales: Es la base de los logaritmos naturales ($ \ln $).
- Identidad de Euler: Considerada la fórmula más bella de las matemáticas, relaciona $ e $, $ \pi $, $ i $, $ 1 $ y $ 0 $:
$$ e^{i\pi} + 1 = 0 $$
Aplicaciones Reales
El número $ e $ es fundamental en áreas como:
- Economía: Cálculo del interés compuesto continuo.
- Biología: Modelado del crecimiento de poblaciones de bacterias.
- Física: Desintegración radiactiva y enfriamiento de objetos.
- Estadística: La curva de la distribución normal (campana de Gauss).